Lösungsvorschläge Blatt Nr. 2
Analysis 1 im WS 2005/06

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Vom Dozenten empfohlene Begleitliteratur:

Aufgabe 1

Aufgabenstellung

Sei $I$ eine endliche oder unendliche Indexmenge und $(A_i)_{i \in I}$ eine Familie von Mengen Sei $B$ eine weitere Menge. Zeigen Sie:

Teilaufgabe a

$B \setminus ({ \bigcap \limits_{i \in I} A_i)} = \bigcup \limits_{i \in I} ( B \setminus A_i)$

Wir zeigen, dass wir von der rechte Seite zur linken Seite gelangen:

$$\bigcup \limits_{i \in I} ( B \setminus A_i ) = \{x \vert \forall_{i \in I} (x \in B \wedge x \notin A_i) \}$$

$$= \{x \vert x \in B \} \wedge \{x \vert \forall_{i \in I} ( x \notin A_i ) \}$$

$$= \{x \vert x \in B \} \wedge \{x \vert \neg\exists_{i \in I} ( x \in A_i ) \}$$

$$= \{x \vert x \in B \} \wedge \{x \notin \bigcup \limits_{i \in I} A_i ) \}$$

$$= B \setminus ({ \bigcap \limits_{i \in I} A_i)}$$

(die andere Richtung zeigt sich analog in umgekehrter Reihenfolge)

$\square$

Teilaufgabe b

$B \setminus ({ \bigcup \limits_{i \in I} A_i} = \bigcap \limits_{i \in I} ( B \setminus A_i)$

Wir zeigen, dass wir von der rechte Seite zur linken Seite gelangen:

$$\bigcap \limits_{i \in I} ( B \setminus A_i ) = \{x \vert \exists_{i \in I} (x \in B \wedge x \notin A_i) \}$$

$$= \{x \vert x \in B \} \wedge \{x \vert \exists_{i \in I} ( x \notin A_i ) \}$$

$$= \{x \vert x \in B \} \wedge \{x \vert \neg\forall_{i \in I} ( x \in A_i ) \}$$

$$= \{x \vert x \in B \} \wedge \{x \notin \bigcap \limits_{i \in I} A_i ) \}$$

$$= B \setminus ({ \bigcup \limits_{i \in I} A_i)}$$

(die andere Richtung zeigt sich analog in umgekehrter Reihenfolge)

$\square$