Lösungsvorschläge Blatt Nr. 3
Analysis 3 im WS 2005/06

 Die Lösungen werden ergänzt und korrigiert

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Vom Dozenten empfohlene Begleitliteratur:

Aufgabe 33

Man untersuche, welche Funktion auf $C^*$ in 0 eine hebbare Singularität hat.

a)

$h_1(z)=\dfrac{z}{e^z-1}$

Da $e^z-1=0$ genau für $z=2k\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$ gilt, ist die Funktion $h_1$ in $\bar{K}(0,r)\backslash{0}$ stetig, wenn man ein $r\in(0,2\pi)$ wählt. Wegen

$h_1(z)=\dfrac{z}{e^z-1}=\biggl[\dfrac{e^z-1}{z-0}\biggr]^{-1} \stackrel{ z \rightarrow 0 }{\longrightarrow} \biggl[(e^z)'\mid_{z=0} \biggr]^{-1}=1$,

ist $h_1$ also in $K(0,r)\backslash{0}$ beschränkt.

Da $h_1$ zudem in $K(0,r)\backslash{0}$ holomorph ist, liefert der Riemannsche Hebbarkeitssatz, dass $z_0=0$ eine hebbare Singularität von $h_1$ ist.

Die durch $h_1(0)$ holomorph fortgesetzte Funktion hat in $z_{0}=0$ keine Nullstelle.

b)

$h_2(z)=e^{1/z}$ Aus der Vorlesung wissen wir, dass $z \mapsto e^{1/z}$ in jeder Umgebung von 0 jeden Wert $\neq$ 0 annimmt.

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