Übersicht Algebra und Geometrie (EGAL)

• Die 5 Platonischen Körper
• Eulersche Polyederformel
• Duale Körper und Isomorphismus
• Alternierende Gruppen
• Symmetriegruppe(n) von Dodekaeder und Ikosaeder
• Projektion auf die Kugeloberfläche
  

• Definition einer Operation
• Gruppentheorie
  
• Eigenschaften in Gruppen
• Modulgruppe
• Bahn bzw. Orbit, Stabilisator, Vertretersystem
• Symmetrie bei Gleichheit zwischen Orbits
• Primzahlordnung
• treue Operation, fixpunktfrei

• Abbildung "Konjugation", Konjugiertenklasse
• Zentrilisator, Zentrum
• Normalteiler, Nebenklassen
• p-Gruppe
• p-Sylowgruppen, Normalteiler
  
• Satz von Lagrange
  
• Die drei Sylowsätze

• Fixgruppe eines Ornament
• Verschiebung, Translation
• genau 17 verschiedene Gruppen
• Symmetriegruppen von Tapetenmuster
• diskrete Untergruppe
• Fundamentalbereich, Repräsentanten
  
• Gitter und Diskriminante
• Gitterbasis, kürzeste Vektoren, Erzeuger
  
• Fries, Friesgruppen
• Rapport, Shift, Drehzentren
• vertikale-, horizontale- und Gleitspiegelungen

• zyklische Symmetriegruppe eines regulären n-Ecks
• Rotationsgruppe, Rotationssymmetrie
  
• kürzeste Verschiebung
• Hexagonalgitter
• Drehgruppen, Drehung um kleinsten Winkel
  
• kristallographische Restriktion
• rhombisches Gitter, Quadratgitter

• Untergitter
• Gitter sind abelsche Gruppen
• Mikowski'scher Gitterpunktsatz
• Zentralsymmetrie

• Kongruenz, Restklasse
• Wilson's Theorem
• x² - Dy² = 1
• Grundlösung
• Pellsche Gleichung, kleinste Bild
  
• Satz Euler/Fermat
• Satz von Dirichlet
• Dirichletscher Approximationssatz
• quadratfrei, Lösbarkeit in Z-Modulo
• Primfaktorzerlegung, diophantische Gleichung n= x² + y²
  
• Satz Lagrange/Fermat, diophant. Gleichung n= x² + y² + w²
  

• Def. Ideal und Hauptideal
• Erzeuger
• Def. Integritätsring
• Eigenschaften: teilbar, invertierbar
• Einheiten, Einheitengruppe
• ggT
• Minimalität und Durchschnitt von Idealen
• In Z ist jedes Ideal ein Hauptideal
• Faktorgruppe R\I ist ein Ring mit Eins
• Nebenklassen aus R\I sind Restklassen
• Restklassenring Z/dZ
  
• Nullteiler
• Restklassenring modulo I
• Def. Ringhomomorphismus /Phi: R -> S
  
• R/Kern(/Phi), /Phi(R) /subset S
• Hauptidealring (HIR)
• Teiler, irreduzibel, Zerlegung, faktoriell
  
• maixmales Ideal, Primideal
• faktorielle Ringe => Primelemente => irreduzible Elemente

• Def. Links- und Rechtsmodul
• K-VR sind unitäre Moduln
• Def. Untermodul
• Ring := R-Modul
• Erzeugendensystem, nicht jedes hat eine Basis
• Torsionsmodul
• Z-Modul
• Rang von M
• Nullteilerfreiheit

• Direkte Produkte und direkte Summe von Untermoduln
• endlich erzeugte torsionsfreie Moduln über HIR habe eine Basis
• R-Modul M hat Basis B => M frei über B
• R HIR, M endlich erzeugter torsionsfreier R-Modul: M ist frei
• M/Tor M ist torsionsfrei, damit auch frei
• Annulator (Ann), Ordnungsideal
• abelsche Gruppen der Ordnung n, als Z-Modul endlich erzeugt
  
• Elementarteilersatz
  
• maximales Element bzgl. Inklusion

• K-VR als K[X]-Modul, sowie ein Hauptideal
• Normalformen über beliebige Körper
• freies Modul vom Rang 1 über K[X]
• irreduzible Polynome
• Endomorphismen als quadratische Matrix, Jordankasten
  
• Minimalpolynom
• kanonische rationale Form
• Satz Cayley-Hamilton
• invariante Teilräume

• Positivbereich
• Lorentzgruppe mit det /phi= +- 1
  
• Lorentztransformation

• Verknüpfungs-, Anordnungs-, Kongruenz-, Parallelen- und Stetigkeitsaxiome
• Modelle hyperbolischer Geometrie, Hyperbolische Räume
• orthogonale Gruppe LO(V'), spezielle Lorentzgruppe SLO(V')
• Positivbereich P besteht nur aus Halbstrahlen
• Projektiver Raum P(V')
• k-dimensionaler hyperbolischer UR
• hyp. Punkt, hyp. Gerade, hyp. Ebene und hyp. Hyperfläche
• Doppelverhältnis in der projektiven Geometrie
• hyperbolische Bewegungsgruppe
• Def. "unendlicher ferner Punkt"
• Hälfte eines zweischaligen Hyperboloids
• Hyperboloidmodell
• Ballmodell ("konformes Modell")

• homogene Koordinate eines unendlichen fernen Punktes
• Linearkomibinaten, Projektivierung
• Tangentialvektoren, Tangentialraum
• Winkelsumme hyp. Dreieck ist nicht 180°