G := Gruppe, UG := Untergruppe, X := Menge
Definition einer Gruppenoperation
("G operiert auf x")
G × x -> X bzw. (g,x) -> gx mit den Eigenschaften:
( \-/g,h in G und \-/x aus X)
- ghx = g(hx)
- ex = x , e ist neutrales Element in G.
dann heißt diese Abbildung "Operation von G auf x".
Bemerkungen:
- Ist H Teilmenge und UG von G, und G operiert auf X, dann operiert auch H auf X.
- Jede "Symmetrie" auf x läßt sich als UG von S(X) beschreiben.
Gruppentheorie
Folgende Begriffe werden hier nicht mehr eingeführt. Ich verweise auf die Grundlagen Literatur:
Restriktion, Identität, Kompositum,
Halbgruppe
assoziative innere Verknüpfung
Sei (G, *) Gruppe, dann gilt:
( \-/ a,b in G)
- neutrales Element e ist eindeutig und e*a = a*e = a
- inverses Element a-1 von a ist eindeutig und a-1 * a = a * a-1 = e
- (a-1)-1 = a und (a * b)-1 = a-1 * b-1
- Kürzungsregel:
- a * x = a * y => x = y
- x * a = y * a => y = x
Eigenschaften in Gruppen
Modulgruppe
Bahn bzw. Orbit, Stabilisator, Vertretersystem
Definition Orbit
G operiere auf X. Zu x in X heißt O(x) = { gx : g in G } die Bahn ("Orbit") von x unter G.
Lemma: Zwei verschiedene Orbits sind entweder gleich oder disjunkt.
Man sagt, eine Gruppe (G, *, e) operiert auf einer Menge M,
wenn es eine Funktion "." von G × M nach M gibt mit den Eigenschaften:
- e.x = x für alle x aus M,
- (s*t).x = s.(t.x) für alle s, t aus G und x aus M.
Operiert G auf M, dann gibt es einen Homomorphismus Phi von G in die symmetrische Gruppe S(M) von M,
dabei ist Phi gegeben durch Phi(s)(x) = s.x.
Operiert G auf M, dann nennt man für ein x aus M die Teilmenge G.x von M, gegeben durch
- G.x = {s.x | s in G}
die Bahn von x (bezüglich der gegebenen Operation).
Man nennt die Untergruppe Gx von G, gegeben durch
- Gx = {s in G | s.x = x}
den Stabilisator (oder die Fixgruppe) von x (bezüglich der gegebenen Operation).
Man nennt die Mächtigkeit |G.x| der Bahn von x die Länge der Bahn von x.
Besteht M nur aus einer einzigen Bahn, d.h. ist G.x = M für jedes x, dann heißt die Operation transitiv.
Dies ist genau dann der Fall, wenn zu jedem Paar x, y aus M ein s in G existiert, so dass s.x = y ist.
Beispiele
(Einiges davon könnte z.B. in einen Artikel Faktorgruppe)
Ein Beispiel einer Operation ist die Linkstranslation (Linksmultiplikation) innerhalb einer Gruppe (G, *, e).
Definiert man s.t := ls(t) := s*t, dann operiert G auf sich selbst,
denn es ist e.s = e*s = s und (s*t).x = (s*t)*x = s*(t*x) = s.(t.x).
T ist die Abbildung, die jedem Element s die Linkstranslation mit s, ls: G -> G, zuordnet.
Diese Zuordnung T ist injektiv, man erhält hieraus den
Satz von Cayley:
Jede endliche Gruppe der Ordnung n ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe Sn.
Analoges gilt auch für die Rechtstranslation s.x := x*s.
Betrachtet man eine Untergruppe H von G, dann operiert auch H durch die Linkstranslation auf G.
Die Bahn Hs:=H.x eines Elements s von G heißt Rechtsnebenklasse von s.
Die Menge aller Rechtsnebenklassen bezeichnet man mit
- H\G,
ihre Mächtigkeit mit
- G : H := |H\G|.
Da die Linkstranslation eine Bijektion ist, gilt |Hs| = |H| für jedes s<
aus G.
Daraus folgt mit der Bahnengleichung (s.u.) der
- Satz von Euler-Lagrange: Für jede Untergruppe H einer endlichen Gruppe G gilt
- |G| = (G : H) * |H|.
- Insbesondere ist die Ordung von H ein Teiler der Ordung von G.
Betrachtet man stattdessen die Rechtstranslation von H<
auf G,
dann nennt man die Bahn sH:=H.x von s seine Linksn
klasse.
Man beachte, dass im allgemeinen nicht sH = sein muss.
Die Menge aller Linksnebenklassen bezeichnet man mit G/H
Man kann zeigen, dass es genauso viele Linksnebenklassen wie Rechtsnebenklassen gibt, dass also
- G : H = |G/H|.
Eine Untergruppe H von G heißt Normalteiler wenn gH = Hg für alle g
G gilt.
Ist H ein Normalteiler von G, dann wird durch
- gH*tH := (g*t)H
eine wohldefinierte Verknüpfung von G/H definiert, mit der G/Heine Gruppe ist,
man nennt sie die Faktorgruppe G modulo H.
Eine Gruppe G operiert auf sich durch die Konjugation s.t := fs(t) := s-1*t*s
Die Automorphismen fs(t) = s-1*t*s heißen innere Auto
hismen,
die Menge aller inneren Automorphismen bezeichnet man mit Inn(G).
Ist L/K eine Körpererweiterung, dann bezeichnet man mit Aut(L/K) die Gruppe aller Automorphi
von L,
die K punktweise fest lassen. Diese Gruppe operiert auf L durch f.x := em>(x).
Jede Bahn besteht aus den in L liegenden Nullstellen eines Polynoms mit Koeffizi
n in K,
das über K irreduzibel ist.
Elemente derselben Bahn nennt man hier konjugiert über
K ,
sie haben dasselbe Minimalpolynom über K.
Man kann die skalare Multiplikation eines Vektorraums V mit seinem Grundkörper K als
ration auffassen:
x.v := x*v. Dabei ist die multiplikative Gruppe K* die Gruppe G und V die Menge M.
Operiert G auf M, dann bilden die Bahnen eine Zerlegung von /em>, das heißt:
Je zwei Bahnen sind disjunkt oder gleich, und jedes Element von M
t in einer Bahn.
Denn man kann die folgende Äquivalenzrelation "~" definieren:
- Sind x, y aus M, dann sei x~y, falls ein s in G existiert, so dass s.x = y ist.
Die Äquivalenzklassen dieser Relation sind genau die Bahnen.
Daraus folgt die
- Bahnengleichung: Die Mächtigkeit von M ist gleich der Summe über die Länge aller Bahnen.
Ist x aus M, dann ist die Abbildung i: G/Gx -> G.x, i(s*Gx) = s.x<
, eine Bijektion.
Denn ist s*Gx = t*Gx, dann ist
p:=s-1*t in Gx, also p.x = x und t.x = (s*p).x = s.x. Also ist i wohldefinier
Offenbar ist i surjektiv (denn G.x besteht gerade aus allen s.x). it auch injektiv,
denn es gilt: s.x = t.x ==> s-1*t.x = x ==> s-1*t in Gx ==> s*Gx = t*Gx.
Aus dieser Bijektion folgt für eine endliche Gruppe G
- |G.x| * |Gx| = |G|
Insbesondere ist dann die Länge jeder Bahn ein Teiler der Ordnung von G.
* Symmetrie bei Gleic
t zwischen Orbits
&nb
* Primzahlordnung
* treue Op
i
fixpunktfrei
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