G := Gruppe, A := Drehgruppe, S := Symmetriegruppe, UG := Untergruppe
Kategorie: Algebraische Topologie, Berechnung und Anwendung von Invarianten.
Die Fünf Platonischen Körper
Begriffserklärung: "eder" (griech.) := Fläche
(Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder)
Oktaeder: Permutation auf 8 Eckgruppen, damit liegt die UG im S8
orthogonale Abbildung
Determinante -1
Tetraeder: zwei Ecken festhalten und die anderen beiden vertauchen
-> S4 mit 24 Elementen.
konvexes Polyeder
i) Ein Polyeder ist im R3 definiert als konvexe Hülle von endlichen vielen Ecken.
ii) Ein Polyeder heißt regulär oder platonischer Köper, wenn es ein natürliches n gibt,
so dass alle Seitenflächen gleichseitige n-Ecke sind.
An jeder Ecke grenzen gleichviele Kanten an (damit auch gleichviele Kanten).
SATZ: Es gibt genau fünf reguläre Polyeder.
Dualität (Isomorphie):
Ist P ein reguläres Polyeder, dann betrachte die Mittelpunkte der Seitenflächen.
Verbinde benachbarte durch Strecken, diese sind Kanten eines neuen Polyeders P'.
Dodekaeder` = Ikosaeder
Ikosaeder` = Dodekaeder
Duale Körper
Zu jedem konstruierten Dreieck eines dualen Körpers gehört eine Ecke
Im Inneren des Hexaeders entsteht ein dualer Oktaeder
Im Inneren des Oktaeders entsteht ein dualer Dodekeader
Ausnahme: Der Tetraeder ist selbstdual.
Eulersche Polyederformel
(gilt nur im R3, Eulerzahl oder Eulercharaktersitik von endlichen Polyedern ist eine Invariante)
e - k + f = 2, in Worten: "#Ecken minus #Kanten plus #Flächen (Facetten) ist gleich konstant zwei"
(Wer sich unsicher ist, der rechnet die Formel für den Tetraeder nach).
Ikosaederoberfläche: 12 - 30 +20 = 2
Sphärenoberfläche: 1 - 0 + 1 = 2
Projektion auf die Kugeloberfläche
Zum Beweis der Formel wird der Polyeder durch Projektion von einem inneren Punkt einer Sphäre
auf die Kugelhaut abgebildet, so dass das Polygonnetz eine vollständige Überdeckung beschreibt.
Die Polyederformel gilt für alle Netze dieser Bauart. An jeder Ecke begrenzen mind. drei Kanten.
Algorithmus:
- nehme eine beliebige Kante heraus -> wir erhalten zwei Eckpunkte vom Grad zwei.
- verschmelze Kanten
- fahre mit 1. und 2. fort bis alle Kanten weg sind -> es bleiben eine Kugel (= eine Fläche) und ein Punkt übrig
Modifikaton von Netzen bei denen sich "e-k+f" nicht verändert:
- Stoßen an einer Ecke nur zwei Kanten an, führt ein Entfernen dieser Ecke zur Vereinigung beider Kanten
- Entfernen einer Kante vereinigt zwei Flächen
- Entfernen aller Kanten liefert e=f=1 und k=0
Weitere Ideen:
In jeder Ecke treffen m Kanten zusammen und jeder Kante liegen 2 Flächen an, es gilt:
e*m = 2*k, (k Anzahl aller Kanten), und nach Umformungen ist e*m = n*f, wobei der Polyeder P aus n Ecken besteht
Aus den Übungen:
a) Der Torus hat für die allgemeine Formel
e - k + f = c die Konstante c=0.
b) Für eine "Brezel" existiert keine Konstante c?
Symmetriegruppen
Die UG der Menge M der euklidschen Bewegungen heißt Symmetriegruppe von M.
Wie erhalten wir die Symmetriegruppen?
Beim Ikosaeder liefern alle Diagonalen zusammen Fünfecke -> 3 Symmetriegruppen
Beispiel:
Das direkte Produkt G=A5 x C2 besteht aus einer Drehgruppe
A5={ /Sigma S5 | sign/Sigma = 1}
und xxxx der Form
C2={ 1, c ], wobei z.b. c2=1 und Z/2Z
Die Ordnung einer Gruppe: |G| = |Gx| |Gx|
Anzahl der Elemente in einer Gruppe: n!
Bsp.: S5 = 5! = 120
Duale Körper und Isomorphismus
Alternierende Gruppen
Mögliche Symmetriegruppen eines Polyeders
- eine endliche Drehgruppe
- ein direktes Produkt
- ein gemischtes Produkt
Symmetriegruppe(n) von Dodekaeder und Ikosaeder
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