Polyeder | Bereich EGAL

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	Mathematik
	Polyeder, Gruppen und Symmetrien	Letzte Änderung: 9.Feb.2004

G := Gruppe, A := Drehgruppe, S := Symmetriegruppe, UG := Untergruppe, id := Identität
Kategorie: Algebraische Topologie, Berechnung und Anwendung von Invarianten.

Die Fünf Platonischen Körper
Symmetriegruppen

Die Fünf Platonischen Körper

Begriffserklärung: "eder" (griech.) := Fläche

(Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder)

Oktaeder: Permutation auf 8 Eckgruppen, damit liegt die UG im S8

orthogonale Abbildung
Determinante -1

Tetraeder: zwei Ecken festhalten und die anderen beiden vertauchen
-> S4 mit 24 Elementen.

konvexes Polyeder

i) Ein Polyeder ist im R3 definiert als konvexe Hülle von endlichen vielen Ecken.
ii) Ein Polyeder heißt regulär oder platonischer Köper, wenn es ein natürliches n gibt,
so dass alle Seitenflächen gleichseitige n-Ecke sind.
An jeder Ecke grenzen gleichviele Kanten an (damit auch gleichviele Kanten).

SATZ: Es gibt genau fünf reguläre Polyeder.

Dualität (Isomorphie):
Ist P ein reguläres Polyeder, dann betrachte die Mittelpunkte der Seitenflächen.
Verbinde benachbarte durch Strecken, diese sind Kanten eines neuen Polyeders P'.

Dodekaeder` = Ikosaeder
Ikosaeder` = Dodekaeder

Duale Körper

Zu jedem konstruierten Dreieck eines dualen Körpers gehört eine Ecke
Im Inneren des Hexaeders entsteht ein dualer Oktaeder
Im Inneren des Oktaeders entsteht ein dualer Dodekeader

Ausnahme: Der Tetraeder ist selbstdual.

Eulersche Polyederformel

(gilt nur im R3, Eulerzahl oder Eulercharaktersitik von endlichen Polyedern ist eine Invariante)

e - k + f = 2, in Worten: "#Ecken minus #Kanten plus #Flächen (Facetten) ist gleich konstant zwei"
(Wer sich unsicher ist, der rechnet die Formel für den Tetraeder nach).
Ikosaederoberfläche: 12 - 30 +20 = 2
Sphärenoberfläche: 1 - 0 + 1 = 2

Projektion auf die Kugeloberfläche

Zum Beweis der Formel wird der Polyeder durch Projektion von einem inneren Punkt einer Sphäre
auf die Kugelhaut abgebildet, so dass das Polygonnetz eine vollständige Überdeckung beschreibt.
Die Polyederformel gilt für alle Netze dieser Bauart. An jeder Ecke begrenzen mind. drei Kanten.

Algorithmus:

nehme eine beliebige Kante heraus -> wir erhalten zwei Eckpunkte vom Grad zwei.
verschmelze Kanten
fahre mit 1. und 2. fort bis alle Kanten weg sind -> es bleiben eine Kugel (= eine Fläche) und ein Punkt übrig

Modifikaton von Netzen bei denen sich "e-k+f" nicht verändert:

Stoßen an einer Ecke nur zwei Kanten an, führt ein Entfernen dieser Ecke zur Vereinigung beider Kanten
Entfernen einer Kante vereinigt zwei Flächen
Entfernen aller Kanten liefert e=f=1 und k=0

Weitere Ideen:
In jeder Ecke treffen m Kanten zusammen und jeder Kante liegen 2 Flächen an, es gilt:
e*m = 2*k, (k Anzahl aller Kanten), und nach Umformungen ist e*m = n*f, wobei der Polyeder P aus n Ecken besteht

Aus den Übungen:

a) Der Torus hat für die allgemeine Formel e - k + f = c die Konstante c=0.
b) Für eine "Brezel" existiert die Konstante c=-2, sowie für eine Brezel mit "drei Schlingen" die Konstante c=-4.

Symmetriegruppen

Die UG der Menge M der euklidschen Bewegungen heißt Symmetriegruppe von M.

Wie erhalten wir die Symmetriegruppen?

Beim Ikosaeder liefern alle Diagonalen zusammen Fünfecke -> 3 Symmetriegruppen

Beispiel:

Das direkte Produkt G=A5 x C2 besteht aus einer (alternierende) Drehgruppe
A₅={ /Sigma S₅ | sign/Sigma = 1}
und xxxx der Form
C₂={ 1, c ], wobei z.b. c²=1 und Z/2Z

Die Ordnung einer Gruppe: |G| = |G_x| |Gx|
Anzahl der Elemente in einer Gruppe: n!
Bsp.: S₅ = 5! = 120

Duale Körper und Isomorphismus
Alternierende Gruppen

Mögliche Symmetriegruppen eines Polyeders

eine endliche Drehgruppe
ein direktes Produkt
ein gemischtes Produkt

Symmetriegruppe(n) von Dodekaeder und Ikosaeder

a) Dodekaeder (besteht aus Fünfecksflächen)

Eigenschaften: zentrumsymmetrisch, genau eine Determinante -1
x --> - x bildet den Polyeder auf sich selbst ab.

Der Dodekaeder hat genau 60 Drehungen auf sich selbst:

Die Standfläche landet nach der Drehung auf eine der 12 verschiedene Flächen
5 Möglichkeiten, das 5-eck auf sich selbst abzubilden

b) Ikosaeder (besteht aus Dreicksflächen)

Ziel: Konstruktions eines injektiven Homomorphismus /Phi: G -> S5

Unter Projekton des Ikosaeders vom Mittelpunkt aus auf die Kugeloberfläche ergeben sich
Schnitte mit der Kugel, das sind die Kanten der ursprünglichen Polyeders.
-> Die Kanten werden Abschnitte von Großkreisen

Algorithmus:

Beginne mit einer beliebigen Kante
Färbe den gesamten dazugehörigen Großkreis
Der gefärbe Großkreis enthält eine weitere Kante (sie liegt gegenüber)
Der Großkreis schneidet noch zwei andere Kanten, d.h einen weiteren Großkreis.
Färbe diesen neuen Großkreis, der dann wiederum auf zwei weiteren Kanten senkrecht steht.
Nach der Einfärbung des dritten Großkreises hält das Verfahren.

Das selbe beginnt man wieder mit einer freien Kante und einer neuen Farbe.
Insgesamt gibt es fünf solche System von drei Großkreisen.
Jede Drehung des Ikosaeders permutiert diese fünf Farben.
Dies ist der gesuchte Homomorphismus.

Ziel: A5

Betrachte 3-eck mit Kanten rot, grün, blau.

Sei g in G, die alle Farbein fest halten, d.h. /Phi(G)=id.

1. Fall: Das Dreieck bleibt fest: g = id

2. Fall: Das Dreieck landet auf dem gegenüberliegenden Dreieck.
Dann hat aber eins der Dreiecke im Uhrzeigersinn die Farbfolge rot-blau-grün, das andere
gegenüberliegende die Farbfolge rot-grün-blau.
Das ist aber ein Widerspruch zu det g = 1.

=> Kern(Phi) = { id }
.
..

Weitere Symmetriegruppen in O2
Diedergruppe Dn = Summe aller regulären n-Ecke, wobei Dn isomorph zu Cn x C2 ist.
(wir erinnern uns: Cn = ( Z/n Z, +) )

Plattgedrückter Ikosaeder

In jeder Ecke treffen sich immer alle 5 Farben
Jede Farbkombination bei gegenüberliegenden Seiten kommt genau zweimal vor.
(5 über 3) Auswahlmöglichkeiten ein Dreieck mit 3 Farben auszustatten.

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