Ringe und Ideale | Bereich EGAL

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	Mathematik
	Ringe und Ideale	Letzte Änderung: 8.Feb.2004

Def. Ideal und

Hauptideal

Def.: R kommutativer Ring, I Ideal und nichtleere Teilmenge von R:

< I , + > ist UG von < R , + >
IR ist Teilmenge von I, wobei IR := { n*x: n in I, x in R}

Ein Ideal, dass nur von einem Element erzeugt wird: Ra := { ra : r aus dem Ring R}
Eigenschaften:

R ist ein Ideal
Das Hauptideal ist die von einem einzigen Element a (a lebt in R) erzeugte Menge
{0] ist das Nullideal

Erzeuger

Integritätsring

SATZ: In Integritätsringen ist jedes Primelement unzerlegbar.

K[X] ist Integritätsring falls K Körper.

    * Eigenschaften: teilbar, invertierbar
    * Einheiten, Einheitengruppe
    * ggT
    * Minimalität und Durchschnitt von Idealen

In Z ist jedes Ideal ein Hauptideal

Im Ring der ganzen Zahlen sind die Begriffe Ideal und Modul gleichbedeutend?

    * Faktorgruppe R\I ist ein Ring mit Eins
    * Nebenklassen aus R\I sind Restklassen
    * Nullteiler

Restklassenring modulo I

/Phi(m): Z |-> Restklasse (mod m)
Schreibweise: Z_m oder Z/_mZ

Restklassenring modulo m ist Körper <=> m ist prim

* Def. Ringhomomorphismus /Phi: R -> S
* R/Kern(/Phi), /Phi(R) /subset S

Hauptidealring (HIR)

Integritätsbereich besteht nur aus Hauptidealen.
Jedes unzerlegbare Element = Primelement
Gegenbeispiel:
Polynomring Z[X] ist kein HIR, weil Z kein Körper.

* Teiler, irreduzibel, Zerlegung, faktoriell

ZPE-Ring: "Ring mit Zerlegung in Primelemente eindeutig"

* maixmales Ideal, Primideal

Faktorieller Ring

In einem faktoriellen Ring läßt sich jedes von Null verschiedene und von seinen Einheiten
verschiedene Element als Produkt endlich vieler Primelemente darstellen.

Jeder HIR ist faktorieller Ring.
faktorielle Ringe => Primelemente => irreduzible Elemente
R Integritätsring <=> R faktorieller Ring <=> R[X] faktorieller Ring

Bsp.: Der ganzzahlige Polynomring Z[x₁, .. , x_k], da Z faktoriell

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