Lösungsvorschläge Blatt Nr. 4
Lineare Algebra I im WS 2005/06

 Die Lösungen werden ergänzt und korrigiert

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Aufgabe 14

Seinen $n, m, p \in \mathbb{N}$. Sei $A$ eine $m \times n$-Matrix und $B$ eine $n \times p$-Matrix.

Hinweis: In dieser Aufgabe verwenden wir folgende Definition:

Die Transponierte einer $m \times n$-Matrix $A$ ist die $n \times m$-Matrix $A^t$, die durch das spiegeln an der Diagonalen von der Matrix $A$ entsteht.

Zeigen Sie:

a)

$(AB)^t \stackrel{!}{=} B^t A^t$.

$$(AB)^t =\Bigl(\sum\limits_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}\Bigr)_{i,j}^t=\Bigl(\su... ...a_{jk}b_{ki}\Bigr)_{i,j} =\Bigl(\sum\limits_{k=1}^{n} b_{ki} a_{jk}\Bigr)_{i,j}$$

$$= (b_{ji})_{i,j} \cdot (a_{ji})_{i,j} = B^t A^t$$

$\square$

b)

$(A^t)^t \stackrel{!}{=} A$.

$(A^t)^t=((a_{ij})^t)^t=(a_{ji})^t =(a_{ij})=A$

$\square$

c)

$AA^t$ ist symmetrisch, d.h. $(AA^t)^t=AA^t$.

Also haben wir einen Spezialfall von a) mit $B=A^t$, denn
$(AA^t)^t=(A^t)^t A^t$ und mit der b) gilt weiter:
$(A^t)^t A^t=AA^t$

$\square$

d)

$A+A^t$ ist symmetrisch, falls $m=n$.

Wir verwenden den Hilfssatz: $(A+B)^t=A^t+B^t$
Beweis: $((a_{ij})+ (b_{ij}))^t=((a+b)_{ij})^t=(a+b)_{ji}=(a_{ji})+(b_{ji})=A^t+B^t$

Mit dem Lemma gilt: $(A+A^t)^t=A^t+(A^t)^t$ und mit der b):
$A^t+(A^t)^t=A^t + A= A +A^t$, da die Matrizenaddition kommutativ ist.

$\square$

e)

$(A^{-1})^t=(A^t)^{-1}$, falls $m=n$ und $A$ invertierbar ist.

$(A^{-1})^t \cdot A^t=(A^{-1})^t \cdot (A^1)^t=(AA^{-1})^t=E^t=E$
$A^t \cdot (A^{-1})^t=(A^1)^t \cdot (A^{-1})^t=(A^{-1}A)^t=E^t=E$
Also ist $(A^{-1})^t$ invers zu $A^t$ und somit gilt $(A^{-1})^t=(A^t)^{-1}$.

$\square$

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