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Computergestützte Mathematik in der Forschung und Lehre

Mathematische Modellierung

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Einleitung

Ausgehend von der allgemeinen integralen und diﬀerentiellen Erhaltungsform und den Prinzipien der Massen-, Impuls- und Energieerhaltung sollen die Eulergleichungen für ein ideales Fluid hergeleitet werden.

Durch die zusätzlichen Annahmen der Inkompressibilität und Wirbelfreiheit ergeben sich für ebene stationäre Strömungen die aus der Funktionentheorie bekannten Cauchy-Riemann-Diﬀerentialgleichungen. Die resultierenden Potentialströmungen sollen anhand ausgewählter Beispiele mittels Matlab dargestellt werden.

Euler-Gleichungen:

Die Euler-Gleichungen sind ein partielles Differentialgleichungssystem 1. Ordnung aus dem Bereich der Strömungsmechanik. Es handelt sich um den Impulssatz in differentieller Form und ein Sonderfall der Navier-Stokes-Gleichungen für reibungsfreie Fluide.

Impulserhaltung:

Die Impulserhaltung beschreibt die Gleichheit zwischen der zeitlichen Änderung des Impulses eines Körpers und der Summe aller auf den Körper wirkenden Oberflächen- und Volumenkräften.

Potenzialströmung:

Eine Potenzialströmung ist eine idealisierte Strömung um einen beliebigen Körper. Die Potenzialheorie in der Strömungsmechanik ist ein mathematischer Lösungsansatz, mit dessen Hilfe sich drehungsfreie Strömungen um beliebige Körper berechnen lassen.

Material

Standardbeispiele wären z.B. das Umströmen eines Zylinders (Bild1)
oder von Ecken (Bild2 und Bild3), die wir bereits mit Matlab darstellen können:

Bild1

Bild2

Bild3

Weiterführende Links

• Hanke-Bourgeois, M., Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens, Teubner, 2002 (Kap. 65 und 67).
• Gamelin, T. W., Complex analysis, Springer, 2001 (Kap. III.6 und XI.4).