Strömungsmechanik

Universität Stuttgart, Proseminar WS 05/06

Strömungsmechanik in der Mathematischen Modellierung
Proseminar im WS 2005/06



→ zurück zur Proseminar − Homepage


Strömung um einen Zylinder

Abstract:

In dieser Seminararbeit wird das Konzept der mathematischen Modellierung in der Strömungsmechanik vorgestellt. Zusätzlich wird die Implementierung eines MATLAB-Programms erläutert, mit dessen Hilfe die resultierenden Potentialströmungen um einen beliebigen Körper dargestellt werden können.


Contents

Einleitung

Die Strömungsmechanik ist ist ein Teilgebiet der Technischen Mechanik, die wiederum ein Teilgebiet der angewandten Physik ist.

Die Mechanik ist die Wissenschaft, die sich mit Kräften sowie mit Wirkungen von Kräften auf ruhende oder bewegte Körper und Stoffe aller Art befasst.

Die Fluidmechanik hat sich im letzten Jahrhundert zu einer selbstständigen Wissenschaft entwickelt. Sie erforscht die Gesetzmäßigkeiten der Bewegungen und des Kräftgleichgewichts sowohl von ruhenden als auch von bewegten Fluiden. Viele der Zusammenhänge sind bis heute noch nicht oder nur unvollständig geklärt. Durch Versuchsergebnisse hat man daher bisher die Lücken zu füllen versucht.

Unter einem Fluid versteht man eine Flüssigkeit, ein Gas oder ein Dampf, also ein nicht formbeständiges Kontinuum, auf welches die Gesetze der Fluidmechanik anwendbar sind. Zu unterscheidene sind:

Die Fluidmechanik verzweigte sich in zwei Richtungen, die jedoch weiterhin nicht völlig unabhängig voneinander weiterentwickelt wurden. Die erste Richtung war die Theoretische Fluidmechanik und die zweite Richtung die Technische Fluidmechanik. In der Theoretischen Fluidmechanik wurden alle Fluidmechanischen Phänomene möglichst exakt mathematisch dargestellt. Dabei wurde keine Rücksicht auf die Praktikabilität und die Anwendung genommen. In der Technischen Fluidmechanik wurde die mathematische Darstellung an der Anwendung ausgerichtet und gründet meist aus experimentellen Ergebnissen. Wir befassen uns in diesem Aufsatz mit der Theoretischen Fluidmechanik.

Fluid- und Strömungseigenschaften

Bevor wir uns mit der Berechnung der Bewegungsvorgänge beschäftigen, wollen wir erst mal einige Begriffe zu Strömungsvorgängen klären und die Strömungsdarstellung beschreiben. In Kapitel 2.1 werden dazu die Strömungarten und -formen und die Fluidarten vorgestellt. Dann in Kapitel 2.2 wird die Darstellung und Deutung von Strömungesvorgängen genauer erläutert.

Strömungseinteilung

Strömungsgruppen: Strömungsarten: Strömungsformen: Strömungsklassen: Fluidmodelle: Fluidarten

Strohmbahn

Die Bahnlinie oder Strombahn ist der Weg $s$, den ein Fluidteilchen mit der Geschwindigkeit $v$ in der Zeit $t$ zurücklegt. Strombahnen können durch Zugabe von Schwebeteilchen oder Farbstoff in das strömende Medium sichtbar gemacht und durch photografische Langzeitaufnahmen festgehalten werden.
Die Streichlinie ist die Verbindungslinie all der Fluidteilchen, die den betreffen den Ort zu verschiedenen Zeiten passierten. Eine Stromlinie ist die Tangentenkurve an zusammenhängenden Geschwindigkeitsvektoren.


Stromlinien
Erkärungen zu Stromlinienbilder: Dabei sind die Isotachen die Kurven gleicher Geschwindigkeit, d.h. die Verbindungslinien aller Punkte mit gleicher Fluidgeschwindigkeit. Der Hodographist die Kurve, die die Endpunkte der von einem frei gewählten Bezugspunkt aus aufgetragenen Geschwindigkeitsvektoren einer Strömung verbindet.
Ein Bündel von Stromlinien, die eine ortsfeste, geschlossene Raumkurve berühren, bildet eine Stromröhre. Als Strömungsgeschwindigkeit wird dabei die mittlere Geschwindigkeit über den Querschnitt der Stromröhre bezeichnet.


Stromröhre

Eine Stromröhre mit infinitesimalen Querschnitt $dA$ wird als Stromfaden bezeichnet. In einem Stromfaden sind Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Temperatur über den Stromfadenquerschnitt jeweils konstant. Außerdem treten keinen Geschwindigkeitskomponenten quer zur Stromfadenachse auf. Das Fluid bewegt sich nur in Strömungsrichtung. "Uber die Mantelfl"che findet keine Massenfuß statt, nur über den Ein- und Austrittsquerschnitt.


Bewegung im Stromfaden

Man verwendet die Stromfadentheorie, da sich für die Strömungsgleichungen relativ einfache Beziehungen entgeben. Die Strömung erfolgt eindimensional entlang dem Stromfaden. Die Theorie wird häufig angewendet; sie liefert aber oft unbefriedigende Ergebnisse.
Trifft eine Stromlinie auf einen Körper, so entsteht ein Staupunkt. Das Strömende Fluid kommt an dieser Stelle zur Ruhe. Die Geschwindigkeit wird $v=0$, wenn die Stromlinie senkrecht auf den Körper trifft, die sogenannte Staupunktstromlinie.


Körperströmung

Das Bild zeigt das Stromlinienbild eines stationär umströmten, rotationssymmetrischen Körpers in reibungsfreien Fluid. Eine Stromlinie trifft voren senkrecht auf den Körper, teilt sich, folgt den Konturen des Körpers,vereinigt sich hinter dem Körper wieder und geht senkrecht von der Körperoberfläche ab.
Ein umströmter Körper wird von Stromlinien umhüllt. Diese Stromlinien bilden zusammen eine Stromfläche. Wirbel setzten sich aus der Rotation einzelner Fluidteilchen bzw Fluidbereiche in einem Strömungsfeld zusammen.

Analytische Betrachtungsweise

Es gibt zwei Methoden zur analytischen Darstellung der Fluidbewegung: Eindimensionale Strömungen
Dabei wird nur die Bewegung in Strömungsrichtung beachtet. Es gibt keine Querbewegung. Nach der Eulerschen Betrachtungsweise interressiert uns nur der Bewegungszustand des Fluids an jedem Punkt des Stromfadens (augewählte Bezugspunkte).

Integrale und differentielle Erhaltungsformen

Voraussetzungen

Räumliche und zeitliche Veränderungen der wesentlichen physikalischen Größen können als kontinuierlich angenommen werden und genügen häufig Erhaltungsgesetzen, die unter hinreichender Glattheitsvoraussetzungen zu partiellen Differntialgleichungen äquivalent sind.

Sei $\Omega$ eine Teilgebiet des n-dimensionalen reellen Raumes und x die Ortsvariable im Teilgebiet $\Omega$. Weiter sei $t\geq 0$ die Zeit. Sei $u(x,t)$ die Dichte und $v(x,t)$ die Geschwindigkeit einer zu betrachtenden Erhaltungsgröße, dann gibt $J=u\cdot v$ den Fluß dieser Größe an. Sei G ein belibiges glatt berandetes und beschränktes Teilgebiet von $\Omega$ und $\nu$ die äußere Normale im Punkt $x \in \partial G$, so ist $\nu\cdot J$ die Menge der Erhaltungsgröße, die das Gebiet $G$ pro Zeiteinheit durch ein infinitesimales Oberflächenelement $ds$ im Punkt $x \in \partial G$ verläßt.

Berechnung

Aufgrund der Erhaltungseigenschaft muss der Abfluss durch den Rand $\partial G$ mit der zeitlichen Abnahme der Erhaltungsgröße in $G$ übereinstimmen.
$\underset{\partial G}\int{\nu\cdot J} \enspace ds=-\frac {d}{dt}\underset{G}\int{u} \enspace dx$
Sind zusätzlich noch Quellen und Senken (Zu- und Abflüsse) zu berücksichtigen, muss die Formel mit der Quellendichte $f$ korregiert werden.
$\underset{\partial G}\int{\nu\cdot J} \enspace ds=-\frac {d}{dt}\underset{G}\int{u} \enspace dx+\underset{G}\int{f} \enspace dx$
nach der Gauß-Ostrgradski-Umformung ( $\underset{partial G}\int{\nu\cdot f}\enspace ds = -\frac {d}{dt}\underset{G}\int{\nabla f}\enspace dx$ für Normalgebiete $ G\subset \mathbf{R}^{m}$ und $f \in C^{1} (\Omega \rightarrow \mathbf{R}^{m}) \cap C (\overline{\Omega} \rightarrow \mathbf{R}^{m})$) folgt:
$\Leftrightarrow \underset{G}\int{\bigtriangledown J} \enspace dx=-\frac {d}{dt}\underset{G}\int{u} \enspace dx+\underset{G}\int{f} \enspace dx$
$\Leftrightarrow \underset{G}\int{\bigtriangledown J} \enspace dx+\underset{G}\int{\frac {du}{dt}} \enspace dx=\underset{G}\int{f} \enspace dx$

$\Leftrightarrow \underset{G}\int{(\bigtriangledown J+\frac {du}{dt})} \enspace dx=\underset{G}\int{f} \enspace dx$
Da $G \subset\Omega$ beliebig klein gewählt werden kann (d.h. bei hinreichender Galttheit), ist die Gleichung nur dann für alle Gebiete $G$ erfüllt, wenn die beiden Integranden überall übereinstimmen. Es muss also gelten:
$\Rightarrow \bigtriangledown J+\frac {du}{dt}=f$
Häng der Fluß $J$ nur von $u$, aber nicht von der partiellen Ableitung von $u$ ab, so spricht man von einer hyperbolischen Differentialgleichung erster Ordnung.

Massenerhaltung

Aufgrund der Erhaltungseigenschaft muss der Abfluss $J=\rho\cdot v$ durch den Rand $\partial G$ mit der zeitlichen Abnahme der Massendicht $\frac {d\rho}{dt}$ in $G$ übereinstimmen.
$\underset{\partial G}\int{\nu\cdot J} \enspace ds=-\frac {d}{dt}\underset{G}\int{\rho} \enspace dx$
Sind zusätzlich noch Quellen und Senken (Zu- und Abflüsse) zu berücksichtigen, muss die Formel mit der Quellendichte $f$ korregiert werden.
$\underset{\partial G}\int{\nu\cdot J} \enspace ds=-\frac {d}{dt}\underset{G}\int{\rho} \enspace dx+\underset{G}\int{f} \enspace dx$ nach Gauß folgt:

$\Leftrightarrow \underset{G}\int{\bigtriangledown J} \enspace dx=-\frac {d}{dt}\underset{G}\int{\rho} \enspace dx+\underset{G}\int{f} \enspace dx$

$\Leftrightarrow \underset{G}\int{\bigtriangledown J} \enspace dx+\underset{G}\int{\frac {d\rho}{dt}} \enspace dx=\underset{G}\int{f} \enspace dx$

$\Leftrightarrow \underset{G}\int{(\bigtriangledown J+\frac {d\rho}{dt})} \enspace dx=\underset{G}\int{f} \enspace dx$
Da $G \subset\Omega$ beliebig klein gewählt werden kann (d.h. bei hinreichender Glattheit), ist die Gleichung nur dann für alle Gebiete $G$ erfüllt, wenn die beiden Integranden überall übereinstimmen. Es muss also gelten:
$\Rightarrow \bigtriangledown J+\frac {d\rho}{dt}=f$
Ohne Quellen und Senken ergibt sich dann:
$\Rightarrow \bigtriangledown J+\frac {d\rho}{dt}=0$

Impulserhaltung

Aufgrund der Erhaltungseigenschaft muss der Abfluss $J=m\cdot v$ durch den Rand $\partial G$ mit der zeitlichen Abnahme der Impulsdicht $\frac {dm(x,t)}{dt}=\frac {d\rho\cdot v}{dt}$ in $G$ übereinstimmen.
$\underset{\partial G}\int{\nu\cdot J} \enspace ds=-\frac {d}{dt}\underset{G}\int{m} \enspace dx$
Wirken zusätzlich noch Kräfte auf $\partial G$, muss die Formel mit der Karftkomponente $S=-\underset{\partial G}\int{p\cdot \nu} \enspace ds$ korregiert werden. Da wir von einem idealen Fluid ausgehen (d.h. die Strömung ist reibungsfrei), wirken der Normalenvektor $\nu$ und der Spannungsvektor der Kraft genau entgegngesetzt. $Normalenvektor\enspace \nu=-Spannungsvektor$.
$\underset{\partial G}\int{\nu\cdot J} \enspace ds=-\frac {d}{dt}\underset{G}\int{m} \enspace dx-\underset{\partial G}\int{p\cdot \nu} \enspace ds$

$\Leftrightarrow \underset{\partial G}\int{\nu\cdot J} \enspace ds+\underset{\partial G}\int{p\cdot \nu} \enspace ds=-\frac {d}{dt}\underset{G}\int{m} \enspace dx$

$\Leftrightarrow \underset{\partial G}\int{\nu\cdot J+p\cdot \nu} \enspace ds=-\frac {d}{dt}\underset{G}\int{m} \enspace dx$ nach Gauß folgt:

$\Leftrightarrow \underset{G}\int{\bigtriangledown J+\bigtriangleup p} \enspace dx=-\frac {d}{dt}\underset{G}\int{m} \enspace dx$

$\Leftrightarrow \underset{G}\int{\bigtriangledown J+\bigtriangleup p} \enspace dx+\underset{G}\int{\frac {dm}{dt}} \enspace dx=0$

$\Leftrightarrow \underset{G}\int{(\bigtriangledown J+\bigtriangleup p+\frac {dm}{dt})} \enspace dx=0$
Da $G \subset\Omega$ beliebig klein gewählt werden kann (d.h. bei hinreichender Galttheit), ist die Gleichung nur dann für alle Gebiete $G$ erfüllt, wenn die beiden Integranden überall übereinstimmen. Es muss also gelten:
$\Rightarrow \bigtriangledown J+\bigtriangleup p+\frac {dm}{dt}=0$

$\Rightarrow \bigtriangledown (m\cdot v)+\bigtriangleup p+\frac {d(\rho\cdot v)}{dt}=0$

$\Rightarrow m\cdot \bigtriangledown v+\frac {\partial m}{\partial x}\cdot v+\bigtriangleup p+\frac {d\rho}{dt}\cdot v+\frac{dv}{dt}\cdot \rho=0$

$\Rightarrow (\rho\cdot v)\cdot \bigtriangledown v+\rho\cdot \frac {\partial v}{... ...gleup \rho)+\bigtriangleup p+\frac {d\rho}{dt}\cdot v+\frac{dv}{dt}\cdot \rho=0$

$\Rightarrow \rho\cdot \frac {\partial v}{\partial x}\cdot v+\bigtriangleup p+\f... ...t v+(\rho\cdot v)\cdot \bigtriangledown v+v\cdot (v\cdot \bigtriangleup \rho)=0$

$\Rightarrow \rho\cdot \frac {\partial v}{\partial x}\cdot v+\bigtriangleup p+\f... ...gledown v\cdot\rho)}_{0}+\underbrace{v\cdot (v\cdot \bigtriangleup \rho)}_{0}=0$

$\Rightarrow \rho\cdot \frac {\partial v}{\partial x}\cdot v+\bigtriangleup p+\frac{dv}{dt}\cdot \rho=0$
Ohne zusätzliche Kräfte ergibt sich dann:
$\Rightarrow \bigtriangledown J+\frac {dm}{dt}=0$
bzw.
$\Rightarrow \rho\cdot \frac {\partial v}{\partial x}\cdot v+\frac{dv}{dt}\cdot \rho=0$

Energieerhaltung

Aufgrund der Erhaltungseigenschaft muss der Energieabfluss $J=E\cdot v$ durch den Rand $\partial G$ mit der zeitlichen Abnahme der Energiedichte $\frac {dE(x,t)}{dt}$ in $G$ übereinstimmen.
$\underset{\partial G}\int{\nu\cdot J} \enspace ds=-\frac {d}{dt}\underset{G}\int{E} \enspace dx$
Wird zusätzlich noch Energie in $\partial G$ zugeführt, muss die Formel um die Leistung $\frac {dW}{dt}=-\underset{\partial G}\int{(p\cdot \nu)\cdot v} \enspace ds$ ( $Leistung=Kraft \cdot Geschwindigkeit$) korregiert werden. Da wir von einem idealen Fluid ausgehen (d.h. die Strömung ist reibungsfrei), wirken der Normalenvektor $\nu$ und der Spannungsvektor der Kraft genau entgegngesetzt. $Normalenvektor\enspace \nu=-Spannungsvektor$.
$\underset{\partial G}\int{\nu\cdot J} \enspace ds=-\frac {d}{dt}\underset{G}\int{E} \enspace dx-\underset{\partial G}\int{(p\cdot \nu)\cdot v} \enspace ds$

$\Leftrightarrow \underset{\partial G}\int{\nu\cdot J} \enspace ds+\underset{\pa... ...{(p\cdot \nu)\cdot v} \enspace ds=-\frac {d}{dt}\underset{G}\int{E} \enspace dx$

$\Leftrightarrow \underset{\partial G}\int{\nu\cdot (E\cdot v)+(p\cdot \nu)\cdot v} \enspace ds=-\frac {d}{dt}\underset{G}\int{E} \enspace dx$

$\Leftrightarrow \underset{\partial G}\int{\nu\cdot ((E+p)\cdot v)} \enspace ds=-\frac {d}{dt}\underset{G}\int{E} \enspace dx$ nach Gauß folgt:

$\Leftrightarrow \underset{G}\int{\bigtriangledown ((E+p)\cdot v)} \enspace dx=-\frac {d}{dt}\underset{G}\int{E} \enspace dx$

$\Leftrightarrow \underset{G}\int{\bigtriangledown ((E+p)\cdot v)} \enspace dx+\underset{G}\int{\frac {dE}{dt}} \enspace dx=0$

$\Leftrightarrow \underset{G}\int{(\bigtriangledown ((E+p)\cdot v)+\frac {dE}{dt})} \enspace dx=0$
Da $G \subset\Omega$ beliebig klein gewählt werden kann (d.h. bei hinreichender Galttheit), ist die Gleichung nur dann für alle Gebiete $G$ erfüllt, wenn die beiden Integranden überall übereinstimmen. Es muss also gelten:
$\Rightarrow \bigtriangledown (E+p)\cdot v+\frac {dE}{dt}=0$
Ohne zusätzliche Kräfte bzw. Energie ergibt sich dann:
$\Rightarrow \bigtriangledown E\cdot v+\frac {dE}{dt}=0$

Eulergleichungen

Somit erhält man die drei Euler-Gleichungen:

1. Massenerhaltung $\Rightarrow \rho\cdot \bigtriangledown v+\frac {d\rho}{dt}=0$

2. Impulserhaltung $\Rightarrow \rho\cdot \frac {\partial v}{\partial x}\cdot v+\frac{dv}{dt}\cdot \rho=0$

3. Energieerhaltung $\Rightarrow \bigtriangledown E\cdot v+\frac {dE}{dt}=0$
Durch zusätzliche Annahmen an das Fluid können die drei Gleichungen noch vereinfacht werden.

Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen

Die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen beschreiben ebene Potentialströmungen. Das sind ebenen inkompressiblen und stationären Strömung, bei der die Dichte konstant ist und die Wirbeldichte verschwindet. Ausgehend von den Euler-Differentialgleichungen erhält man durch Vereinfachung und Einschränkung die Cauchy-Riemann-Differentalgleichungen. Nimmt man an, dass das Fluid inkompressibel ist, d.h. die Dichte $\rho = const$ und $\frac{d\rho}{dt}=0$. Dann folgt aus der ersten Eulergleichung:
$\Rightarrow 0+\rho \cdot \bigtriangledown v = 0$
$\Rightarrow \bigtriangledown v = 0$
Geht man weiter von einer ebenen stationären Strömung aus, so ist $\rho$ in den zwei Variablen $(x_{1},x_{2})$ konstant. Daraus ergibt sich für die zweite Eulergleichung:
$\Rightarrow \rho \cdot v_{1} \cdot \frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}} +\rho ... ...cdot \frac{\partial v_{1}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial p}{\partial x_{1}} =0$
$\wedge \Rightarrow \rho \cdot v_{1} \cdot \frac{\partial v_{2}}{\partial x_{1}}... ...cdot \frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial p}{\partial x_{2} }=0$
Durch Differentiation der ersten Gleichung nach $x_{2}$ und der zweiten Gleichung nach $x_{1}$ folgt:
$\Rightarrow \rho \cdot v_{1} \cdot \frac{\partial}{\partial x_{2}} \cdot \frac{... ...2}}+\frac {\partial}{\partial x_{2}} \cdot \frac{\partial p}{\partial x_{1}} =0$
$\wedge \Rightarrow \rho \cdot v_{1} \cdot \frac {\partial}{x_{1}}\cdot \frac{\p... ...artial x_{2}}+\frac {\partial}{x_{1}}\cdot \frac{\partial p}{\partial x_{2}} =0$
Substraiert man die zweite Gleichung von der ersten Gleichung erhält man:
$\Rightarrow \rho \cdot v_{1} \cdot \frac {\partial}{\partial x_{1}} \cdot (\fra... ...\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{1}})=0$
Der letzte Term fällt heraus und die Dichte kann herausgekürzt werden.
$\Rightarrow v_{1} \cdot \frac {\partial}{\partial x_{1}} \cdot (\frac {\partial... ...\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{1}})=0$
$\Rightarrow (v_{1} \cdot \frac {\partial}{\partial x_{1}} + v_{2} \cdot \frac {... ...\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{1}})=0$
Somit ist die Wirbeldichte $ rot v = \frac {\partial v_{2}}{\partial x_{1}}+ \frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}$ konstant und .. ...

Der Spezialfall der ebenen inkompressiblen und stationären Strömung, bei der die Dichte konstant ist und die Wirbeldichte verschwindet, heißt Potentialströmung. Es ist $div v = 0$ und $rot v =0$ in einem Gebiet $\Omega \subset \mathbf{R}^{2}$. Unter diesen Voraussetzungen ist die Kontinuitätsgleichung erfüllt und aus der Identität
$\frac{1}{2} \cdot grad \vert v^{2} \vert - \frac{\partial v}{\partial x} \cdot v = rot v \cdot {v_{2}- v_{1}}=0 $
folgt, dass die Impulsgleichung mit dem Druck $ p=p_{0}-\frac{\rho}{2} \cdot \vert v\vert ^{2}$ eingehalten wird.
Die Energiegleichung wird mit der kinetischen Energie $E=\frac{\rho}{2} \cdot \vert v\vert ^{2}$ Die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen sind somit die beiden Gleichungen: $div v = 0$ und $rot v =0$

Die allgemeine Kontinuitätsgleichung in inkompressiblen Fluiden lautet:
$\frac{\partial v}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v}{\partial x_{2}}+\frac{\partial v}{\partial x_{3}}=0$
Oder in vektorieller schreibweise: $div v = \nabla \cdot \vec v =0$
Für ebene, quellen- und senkenfreie Strömungen lautet die Kontinuitätsgleichung:
$\frac{\partial v_{x_{1}}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{x_{2}}}{\partial x_{2}}=0$
Für ideale, d.h. ebene,wirbelfreie, Strömungen läßt sich die Gleichung mit Hilfe des Geschwindigkeitspotentials $\Phi(x_{1},x_{2})$ mit $v_{x_{1}}=\frac{\partial \Phi}{\partial x_{1}}$ und $v_{x_{2}}=\frac{\partial \Phi}{\partial x_{2}}$ umschreiben zu:
$\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial x_{1} ^{2}}+\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial x_{2} ^{2}}=0$ (Laplace-Form)
$\Rightarrow \triangle \Phi =0$
Die Kontinuitätsgleichung läßt sich aber auch durch eine weitere Funktion $\Psi(x_{1},x_{2})$ , der Stromfunktion erfüllt, für die gilt:
$v_{x_{1}}=\frac{\partial \Psi}{\partial x_{2}}$ und $v_{x_{2}}=-\frac{\partial \Psi}{\partial x_{1}}$
Damit erhält man durch Einsetzten in die Kontinuitätsgleichung:
$\frac{\partial}{\partial x_{1}} \frac{\partial \Psi}{\partial x_{2}}+\frac{\partial}{\partial x_{2}} - \frac{\partial \Psi}{\partial x_{1}}=0$
$\Rightarrow \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial x_{1} \partial x_{2}} - \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial x_{2} \partial x_{1}}=0$
Für die Wirbelbewegung bzw. Winkelgeschwindigkeit:
$\omega_{x_{3}}=\frac{1}{2} (\frac{\partial v_{x_{2}}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial v_{x_{1}}}{\partial x_{2}})$ ergibt sich durch Einsetzen der Stromfunktion:
$\omega_{x_{3}}=\frac{1}{2} (\frac{\partial }{\partial x_{1}} (-\frac{\partial \... ... x_{1}})-\frac{\partial }{\partial x_{2}} \frac{\partial \Psi}{\partial x_{2}})$
$\Rightarrow \omega_{x_{3}}=-\frac{1}{2} (\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x_{1} ^{2}}+\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x_{2} ^{2}})$
$\Rightarrow \omega_{x_{3}}=-\frac{1}{2} \triangle \Psi$
Bei Wirbelfreiheit muß somit gelten:
$0=\omega_{x_{3}}=-\frac{1}{2} \triangle \Psi$
$\Rightarrow 0= \triangle \Psi$
Der Vergleich der Beziehungen des Geschwindigkeitpotentials $v_{x_{1}}=\frac{\partial \Phi}{\partial x_{1}}$ und $v_{x_{2}}=\frac{\partial \Phi}{\partial x_{2}}$ und der Strömungsfunktion $v_{x_{1}}=\frac{\partial \Psi}{\partial x_{2}}$ und $v_{x_{2}}=-\frac{\partial \Psi}{\partial x_{1}}$ ergibt die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen:
$\frac{\partial \Phi}{\partial x_{1}}=\frac{\partial \Psi}{\partial x_{2}}$ und $\frac{\partial \Phi}{\partial x_{2}}=-\frac{\partial \Psi}{\partial x_{1}}$
Die Riemann-Cauchy-Differentialgleichungen, die ideale Strömungen beschreiben, werden in der komplexen Ebene durch das komplexe Potential: $X(z)=\Phi + i \Psi$ erfüllt. Die Potentialfunktion wird als Realteil und die Stromfunktion als Imaginärteil einer analytischen Funktion der Veränderlichen $z=x+iby$ aufgefaßt.

Darstellung mit Matlab

An folgende Programmierrichtlinien haben wir uns gehalten:

Bibliography

1
Hanke-Bourgeois, M.
Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens.
Teubner, 2002. (Kap. 65 und 67).

2
Gamelin, T. W.
Complex analysis.
Springer, 2001 (Kap. III.6 und XI.4).

3
Kümmel, W.
Technische Strömungsmechanik
Teubner, 2004.

4
Oertel, H.
Strömungsmechanik
Vieweg, 1999.

5
Sigloch, H.
Technische Fluidmechanik
VDI Verlag, 1991.

6
Spurk, J.H.
Strömungslehre
Springer, 1989.


Copyright MathLab.de(2006-01-22)