Experimentalphysik 2

Inhaltsübersicht

1. Ladung und elektrisches Feld

1.1 Elektrische Ladung

Reibende Ladung → Elektrostatik

Bewegte Ladung → Elektrodynamik → Stromfluss

Ladungstrennung, Reibungselektrizität

PVC ↔ Fell, dann wird das PVC negativ

Porzellanstab ↔ Leder, Porzellan wird positiv

Spannungsquelle liefert Ladung

Nachweis der Kraft wegen action=reactio

F ~ Q₁· Q₂

F ~ 1\r² Abstandsabhängigkeit der Kraft

gleichförmige Bewegung von Ladung → Gleichstrom

oszillierende Bewegung → Wechselstrom

repulsive und attraktive Wechselwirkung zwischen zweier geladener Körper

Coulombsches Gesetz

F = k · Q₁· Q₂ \ r² wobei k = [ 4 π ε_o ] ^{- 1}

ε_o heißt Influenz

Elementarladung nach Milikan: e₀ = 1,602 · 10^{– 19} C

In einem abgeschlossenen System gilt die Ladungserhaltung, d.h. ∑ Q_i = const.

Bsp: Teilchenbeschleuniger, Erzeugung von einem Positron e⁺

e^- → e⁺ + e^- + e^-

Anwendungen: Bandgenerator (Van-de-Graaff-Generator), Elektrometer

1.2 Elektrisches Feld

elektrischen Feldlinien füllen einen Raum aus und laufen von + nach -

Konvention: E-Feld-Vektor zeigt in die Richtung in der die positve Probeladung q gezogen wird

Feldstärke E = F \ q

Definiton unabhängig von der Probeladung:

|F| = Q₁· Q₂ \ (4 π ε_or²)

F = F · r \ r , wobei r \ r der Einheitsvektor in Richtung r ist

Feldlinienbild zweier gleichnamiger und ungleichnamiger Ladungen

homogenes Feld zwischen zweier großen parallelen Metallplatten (innerhalb des Plattenkondensators), ausserhalb ein inhomogenes Feld

Milikanversuch (Öltropfen)

Variation von E bis sich ein Gleichgewicht einstellt

Bestimmung von m über Stokesche Reibungskraft (vgl. Mechanik, ExPhys 1):

F_S = F_G → v ist konstant → nach m auflösen

Ladung des Öltropfens ist messbar und wir erhalten nur diskrete Werte

→ Ladungsquantisierung: q = ± n e_o

mehrere diskrete Punktladungen

Superpositionsprinzip durch Vektoraddition (von j = 1 nach N) und Abstandsvektor r_0j

E(r₀) = 1 \ (4 π ε_o) · ∑ ( Q_j \ r_0j² · r_0j \ r_0j )

(nahezu) kontinuierliche Ladungsverteilung

räumliche Ladungsdichte:

ρ(r) = lim (∆ V → 0) ∆ Q(F) \ ∆ V(F) = dQ \ dV

Beitrag eines (würfelförmigen) Volumenelementes ∆ V₁ zu E:

∆ E = 1 \ (4 π ε_o) · ρ dV₁ \ r₀₁² · r₀₁ \ r₀₁

Volumenintegral

E(r₀) = 1 \ (4 π ε_o) · ∫_V ( ρ(r₁) \ r_0j² · r_0j \ r_0j ) dV₁

falls ρ(r) bekannt ist lässt sich E für jede beliebige Ladungsverteilung für jeden Punkt im Raum bestimmen

1.3 Elektrisches Potential

E_pot = - ∫ F(r) dr

der negative Wert der Arbeit die notwendig ist um eine Ladung q aus dem Unendlichen bis zum Punkt P₀ zu befördern

U_pot von q im Abstand r von Q₁:

U_pot(r₀) = - _∞∫^r0F(r) dr = - 1 \ (4 π ε_o) · _∞∫^r01 ( q Q₁\ r_0j² ) dr₀₁

_→U_pot(r₀) = - 1 \ (4 π ε_o) · q Q₁\ r₀₁

elektrostatisches Potential

φ(r₀) = U_pot(r₀) \ q

→ φ(r₀) = - _∞∫^r0E(r) dr = 1 \ (4 π ε_o) · Q₁\ r₀₁

Beispiele: Potential eines Protons, Äquipotentialfläche für bestimmte φ_i

potentielle Energie ist unabhängig vom Weg zwischen q und P₀ unter Annäherung zur Feldquelle Q₁

Spezialfall: U_pot = φ = 0 → geschlossener Weg → Kurven-, Linien- oder Wegintegral φ = ∫_C E dr =0

→ das elektrische Feld ist wirbelfrei und somit sind die Äquipotentialflächen senkrecht zu den Feldlinien von E

Potential einer Ladungsverteilung: φ(r₀) = 1 \ (4 π ε_o) · ∫_V ρ(r) \ r₀₁

Potentialdifferenzen → elektrische Spannungen U:

U₂₁ = φ(r₂) – φ(r₁) = - _r1∫^r2E(r) dr

|U₂₁| = | - ₀∫^dE(r) dr | = E · d

Am Kondensator liegt die Spannung U₂₁ = E · d an

1.4 Elektrisches Feld als Gradient des Potentials

neu: E(r) aus φ(r₀) = - _∞∫^r0E(x) dr ermitteln

3-dimensional: dφ = ∂φ \ ∂x · dx + ∂φ \ ∂y · dy + ∂φ \ ∂z · dz

dφ = E dr = - (E_x dx + E_y dy + E_z dz)

E_x = - ∂φ \ ∂x, E_y = - ∂φ \ ∂y, E_z = - ∂φ \ ∂z

mit Einheitsvektoren i,j,k: E = - ( i ∂φ \ ∂x · dx + j ∂φ \ ∂y · dy + k ∂φ \ ∂z · dz)

E = - grad φ

E(r) erhalten wir durch einmaliges partielles Ableiten von φ

Exkurs: Vergleich mit der Mechanik

E = -grad E_pot

Potential und Feldstärke eines Dipols (-Q, Q)

φ(x,y,z) = 1 \ (4 π ε_o) · Q d z \ r³ und das Dipolmoment Q · d = p

→ φ(x,y,z) = 1 \ (4 π ε_o) · p z \ r³ wobei z = r cos theta

→ φ(r) = 1 \ (4 π ε_o) · p cos theta \ r² = 1 \ (4 π ε_o) · p r \ r²

Feldlinienbild Dipol

1.5 Gaußscher Satz der Elektrostatik

Fluss eines Vektorfeldes: dφ = rho V dA cos theta

Teilchendichte

Stromdichte

Gaußscher Satz: ∫_A E dA = · ∑ Q_j

kontinuierliche Ladungsverteilung: ∫_A E dA = 1\eps ₀ ∫ rho dV

∫_C E dr = 0

2. Anwendungen der Elektrostatik

2.1 Elektrostatisches Feld einer unendlich ausgedehnten, ebenen Ladungsschicht

horizontale Feldlinien kompensieren sich

Flächenladungsdichte Q\A

Volumenelemente: E = 1\2 eps ₀ Q\A = 1\2 eps ₀ sigma

2.2 Elektrisches Feld eines Plattenkondensators

Plattenkondensators

Kapazität C = Q \ U und [C] = 1 F (Farad)

U =

Anwendungen: Drehkondensator

Das Auseinanderziehen der angeschlossenen Platten lässt die Spannung ansteigen wegen U = E · d

Parallelschaltung von Kondensatoren

Q_ges = (C₁ + C₂) · U = C_ges · U

Serienschaltung von Kondensatoren

Q_ges = (U₁ + U₂) · C_ges

1/C_ges = 1/C₁ + 1/C₂

2.3 Unendlich langer, geladener Draht

2.4 Koaxialkabel

2.5 Homogen geladene Kugel

2.6 Leiter im elektrischen Feld

2.7 Faraday’scher Käfig

2.8 Influenz

2.9 Prinzip der Bildladung

2.10 Energie des elektrischen Felds

2.11 Isolatoren im elektrischen Feld

2.12 Elektrostatik im Dielektrikum

3. Der elektrische Strom

3.1 Spannung und Stromstärke

3.2 Elektrischer Widerstand

3.3 Elektrische Stromkreise

3.4 Elektrische Arbeit und Leistung

3.5 Mechanismen der elektrischen Leistung

3.6 Gleichspannungserzeugung

4. Das magnetische Feld

4.1 Magnetische Felder

4.2 Das Ampere’sche Gesetz

4.3 Das Biot-Savart’sche Gesetz

5. Bewegung geladener Teilchen im B-Feld

5.1 Magnetische Kraft auf stromführenden Draht

5.2 Der Hall-Effekt

5.3 Bewegter Leiter im Magnetfeld (Generatorprinzip)

5.4 Kraft auf magnetischen Dipol im B-Feld

5.5 Bahnen freier Ladungen im Magnetfeld

6. Induktionserscheinungen

6.1 Das Faradaysche Induktionsgesetz

6.2 Die Lenzsche Regel

6.3 Beispiele zum Induktionsgesetz

6.4 Die Selbstinduktion

6.5 Die Energie des magnetischen Feldes

7. Wechselstromkreise

7.1 Wechselstromkreise mit komplexen Widerständen

ohmscher Widerstand

u(t) = U₀ cos ω

i(t) = I₀ cos ω

R = u(t) \ i(t) = U₀\ I₀

Induktivität

U_ind = - L · dI \ dt

I = ∫ (dI \ dt) · dt = U₀ \ L ∫ cos ω dt

i(t) = U₀ \ ωL sin ωt = I₀ sin ωt

|R_L| = U₀\ I₀ = ω L

Strom hinkt der Spannung um 90° hinterher

Induktiver Widerstand

komplexen Widerstand einführen

Z_L= iωL

die Impedanz ist der Betrag des komplexen Widerstands

|Z_L| := |R_L| = ωL

Scheinwiderstand ist der Betrag des Wirk- und Blindwiderstands

Kapazität

Strom läuft Spannung um 90° voraus

I = -ω U₀ C sin(ωt)

I'(t) = ω U₀ C cos(ωt+90°)

kapazitiver Widerstand:

|R_C| = U₀ \ I_o = 1 \ ωc

Z_C = -i - 1 \ ωc = 1 \ iωc

Maschenregel

∑U_i = 0 → U = I · R + L dI \ dt + Q\C

anschließend nach der Zeit differenzieren und den komplexen Lösungsansätzen:

U = U₀ e ^{i ω t} und I = I₀ e ^{i
( ω t – φ)}

→ iωU = (-Lω² + iωR + 1 \ C) · I

→ Z = U \ I = R + i (ωL + 1 \ ωc)

→ |Z| = [ R² + (ωL + 1 \ ωc)² ]^1/2

Sei φ die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom

Tiefpassfilter (hier passiver RC-Filter 1. Ordnung))

hochohmiger Verbraucher, hohe Frequenzen werden durch den Filter abgeschwächt

Integrierglied U_e – U_a

Spezialfälle:

ω → 0 : |U_a| \ |U_e| → 1
ω → ∞ : |U_a| \ |U_e| → 0

Hochpassfilter

|U_a| = ωRC \ [ 1+ (ωRC)² ]^1/2 · |U_e|

Spezialfälle:

ω → 0 : |U_a| \ |U_e| → 0
ω → ∞ : |U_a| \ |U_e| → 1

nur bestimmte Frequenzbänder werden weitergeleitet

7.2 Transformatoren

Transport elektrischer Energie nur mit sehr hohen Spannungen effektiv.

Leistungsverlust in den Leitungen: ∆P = I² R mit R = P · l \ A

relativer Leistungsverlust ∆P \ P = R · P \ U² also proportional zu 1 \ U²

Spannungsabfall ∆U = I · R mit I = P \ U

Faraday'sches Induktionsprinzip

Bsp: Transformator mit zwei Spulen der Windungen N₁ und N₂

1. Fall: unbelasteter Transformator (also I₂= 0)

U₁ = U₀ · const → I₁ in Spule 2 → U_ind = - L₁ · dI₁ \ dt = - N₁ · Φ₁'

Maschenregel → U₁ +U_ind = 0

U₂ = - N₂ · Φ₁' = N₂ · U_ind \ N₁ = - N₂ · U₁ \ N₁

→ U₂ \ U₁ = - N₂ \ N₁

2. Fall: belasteter Transformator (also I₂= 0)

Sekundärseite enthält elektrischen Verbraucher

→ I₁ \ I₂ = U₂ \ U₁ = - N₂ \ N₁

Hochspannungstrafo

N₂ \ N₁ >> 1

Kleinpannungstrafo

N₂ \ N₁ << 1

7.3 Der elektrische Schwingkreis

Schalter S, Kapazität C, Induktivität L und ohmscher Widerstand R

S schließen → I steigt wegen U_ind mit einer gewissen Verzögerung an

C völlig entladen → I fällt wegen U_ind langsam ab

C entgegengesetzt aufladen → „mechanische Schwingung“ wegen Trägheitselement Spule

formal über Maschenregel und komplexwertigen Lösungsansatz I(t) = A e^λt

→ I = A₁ e^{-
(α - β
) t} + A₂ e^{- (α
+ β ) t} (Linearkombination aus beiden Lösungen)

Kriechfall

R² \ 4 L² > 1 \ LC → β reell → λ y₂ reell ~ e^λt → keine Schwingung

Spezialfall:

I₀ ' = 0 → kein 0-Durchgang des elektrischen Stroms

aperiodischer Grenzfall

gedämpfte Schwingung

erzwungene Schwingungen

Resonanzfrequenz ω₀ = 1 · (LC)^{- 1\2}

gekoppelte Schwingungen

8. Materie im Magnetfeld

8.1 Magnetische Dipole

bisher: Dipolmoment M = m × B und Energie W_pot = - m × B

magnetisches Dipolmoment m = I · A

atomare magnetische Momente

I = q · υ = q · v \ 2 π R

m = q υ A = 1\2 q R₂

Drehimpuls

L = m_e ( R × V ) = m_w R² ω

m = q \ 2 m_e · L

8.2 Magnetisierung und magnetische Suszeptibilität

9. Maxwell Gleichungen

10. Offene Schwingkreise, Hertzscher Dipol

10.1 Abstrahlung eines schwingenden Dipols

11. Elektromagnetische Wellen imVakuum

11.1 Die Wellengleichung

11.2 Periodische Wellen

11.3 Polarisation von elektromagnetischen (e.m.) Wellen

11.4 Magnetfeld e.m. Wellen

11.5 Stehende e.m. Wellen

11.6 Hohlraumresonator (3-dim. stehende Wellen)

11.7 Wellenleiter

11.8 Das e.m. Frequenzspektrum

12. Elektromagnetische Wellen in Materie

12.1 Optischer Brechungsindex

Lichtgeschwindigkeit in Materie ≤ Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

Begründung: Phasenverzögerung zwischen erzwungener Schwingung und der Anfangsschwingung.

12.2 Wellengleichung für e.m. Wellen in Materie

Mawellgleichungen müssen für Wellen in Materie modifziert werden

dielektrische Verschiebung

Dispersion

Dämpfung

Absorptionskoeffizient

12.3 Wellen in nichtleitenden, ungeladenen Medien

nicht ferromagnetische Materialen: μ ≈ 1

Welle in Medien besteht aus Überlagerung von anregenden Primärwelle und dem Anteil der aus dem induzierten Dipol hervorgeht.

Beer'sches Gesetz beschreibt den Zusammenhang der Intensitätsschwächung mit der Konzentration der absorbierenden Substanz

12.4 Mikroskopisches Modell des Brechungsindex

erzwungene Schwingung des Elektrons

Polarisation

dielektrische Suszeptibilität

Plasmafrequenz

periodische Oszillation der Ladungsdichte in einem elektrisch leitenden Medium

12.5 Wellen an Grenzflächen zwischen zwei Medien

Tangentialkomponente des elektrischen Feldes ist beim Übergang zwischen zweier Medien stetig

12.6 Reflektions- und Brechungsgesetz

12.7 Fresnelsche Formeln

12.8 Doppelbrechung

12.9 Optische Aktivität

12.10 Faraday Effekt

12.11 Kerr Effekt

13. Optik

13.1 Grundlagen der Geometrischen Optik

13.2 Optische Abbildungen (sphärische Spiegel, dünne Linsen, Linsenfehler)

13.3 Optische Instrumente

14. Interferenz und Beugung

14.1 Zeitliche und räumliche Interferenz

14.2 Erzeugung von kohärentem Licht

14.3 Youngscher Doppelspaltversuch

14.4 Interferenzen an dünnen Schichten

15. Beugung

15.1 Beugung am Einzelspalt

15.2 Beugung am Gitter

ExPhys II