Experimentalphysik 2
Übungsblatt 10
Volker Ziesing, 13.07.2007

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1.) Faraday-Effekt

2.) Foto-Objektiv

3.) Regentropfen

4.) Reflexion von linear polarisiertem Licht

Faraday-Effekt

Linear polarisiertes Licht einer Na-Lampe $\lambda$ = 589nm wird durch eine 20cm dicke Probe Monobromnaphthalin (Verdet-Konstante V=0.1029 Winkelminuten/Amp$\grave{e}$re bei dieser Wellenlänge) gestrahlt, welches sich in einem longitudinalen Magnetfeld mit B=1T befindet (die Feldlinien sind parallel zur Ausbreitungsrichtung des Lichts).

a) Um welchen Winkel verschiebt sich die Polarisationsrichtung des Lichts?

$B=V\cdot d\cdot H$ mit $H=\dfrac{\beta}{\mu_0}\qquad \Rightarrow \beta=273$

b) Was passiert, wenn das Licht nach dem Durchlaufen der Probe gespiegelt wird und die Probe ein zweites Mal durchläuft? Was würde bei einem vergleichbaren Experiment ohne Magnetfeld aber mit einer optisch aktiven Substanz passieren?

Auf dem Rückweg verdoppelt sich die Rotation, da sich Drehrichtung des Faraday-Effektes und die Helizität des Lichts umkehren. Im Allgemeinen vergrößert eine mehrfache Spiegelung die beobachtbare Drehung.

Da der Faraday-Effekt jedoch vom Magnetfeld abhängt und dieses im zweiten Experiment ausbleibt, dreht sich die Rotation auf dem Rückweg zur Ausgangsrichtung zurück.

Foto-Objektiv

Das Modell eines Zoom-Objektivs für eine Kleinbild-Kamera soll aus zwei dünnen Sammellinsen mit veränderbarem Abstand $e$, gleichen Brennweiten und Brechzahlen n=1,57 aufgebaut werden und folgende Eigenschaften haben: Brennweitenvariation zwischen 90mm und 210mm, Öffnungsverhältnis 1 : 3,5 (d.h. Durchmesser/Brennweite = 1/3,5). Die Linsen befinden sich in Luft mit n = 1.

a) Alle Oberflächen der sphärischen Sammellinsen haben den Krümmungsradius r =91mm. Wie groß ist deren Brennweite $f_1$' ?

$f=\dfrac{R/2}{n-1}=\dfrac{9,1\cdot10^{-2}\text{mm}}{2\cdot(1,57-1)}=79,8 \text{mm}$

b) Welchen Durchmesser D muss die Frontlinse (=Eintrittspupille) haben?

$\dfrac{D}{F}=\dfrac{1}{3,5} \qquad \Leftrightarrow \qquad D=\dfrac{F}{3,5}=\dfrac{210}{3,5}=60$mm

Anmerkung: Da die Linse so viel Licht durchlassen muss, so dass der Zoom auf der gesamten variablen Brennweite funktionsfähig ist, berechnet man den Linsendurchmesser für die größte Brennweite (obere Schranke), denn die Brennweite ist direkt propertional zum Durchmesser.

c) In welchem Bereich muss der Linsenabstand e veränderbar sein?

Hierfür verwenden die Formel:

$\dfrac{1}{F}=\dfrac{1}{f_1}+\dfrac{1}{f_2}-\dfrac{e}{f_1\cdot f_2}$

und stellen sie nach $e$ um. Dabei setzen wir die kleinste (90 mm) und die größte Brennweite (210 mm) ein. Zu dem kann man die Brennweiten der einzelnen Sammellinsen gleichsetzen, da sie identisch sind (d.h. $f_1=f_2$)

$e=-\dfrac{f_1\cdot f_2}{F}+f_1+f_2=-\dfrac{f^2}{F}+2f$

Also erhalten wir: $\qquad e_{\text{min}}=88,85 \text{mm} \quad$ und $e_{\text{max}}=129,31 \text{mm}$

d) Welche kleinste Brennweite ist möglich, wenn beide Linsen denselben Durchmesser D haben?

Wir rechnen über den Pythagoras $(r^2-\dfrac{e}{2})^2+(\dfrac{D}{2})^2=r^2$

wobei r die Verbindungstrecke vom Brennpunkt (und dem virtuellen Brennpunkt) zum oberen (bzw. unteren) Ende der Sammellinsen ist. So gilt dann:

$e_{\text{min}}=2r\pm\sqrt{4r^2-D}=10,18 \text{mm}$

$F=\dfrac{f_1^2}{2f_1-e_{\text{min}}}=42,63 \text{mm}$

Regentropfen

Ein durch Luft gehender Lichtstrahl fällt auf einen kugelförmigen Wassertropfen, wird in diesem gebrochen und tritt nach der Reflexion an der inneren Rückseite wieder aus (vgl. Regenbogen). Berechnen Sie, unter welchem Winkel der Strahl einfallen muss, damit die Gesamtablenkung des Lichts, d.h. der Winkel zwischen einfallendem und austretenden Strahl, ein Maximum hat. Wie groß ist diese Ablenkung? Für rotes Licht hat der Wassertropfen eine Brechzahl $n_{\text{rot}}$ = 1,331 , wie groß ist die Ablenkung dort?

Ausgangspunkt ist das Schnelliussche Brechungsgesetz:

$n_2\cdot\sin\theta_1=n_{H_2O}\cdot\sin\theta_2$

Wir definieren uns die winkelabhängige Funktion $\Phi_A=180°-2\beta$,
wobei $A$ die Stelle beschreibt, wo der Strahl in den Regentropfen zum ersten Mal eindringt:

(1) $\quad2\theta_2+\alpha=180°$

(2) $\quad2\theta_1+\beta+\alpha=180°\qquad$ (Winkelsumme im Dreieck)

(1)-(2): $\qquad\beta=2\theta_2-\theta_1$

$\Phi_A+4 \arcsin\left(\dfrac{n_2\cdot\sin\theta_1}{n_{H_2O}}\right)-2\theta_1=180°$ und $\Phi_A(\theta_1)=180°$

über die Extremalberechnung finden wir nun die gesuchten Winkel:

$\Phi_{A_{min}}(60°)=138°$

aus (1): $\quad \beta=(180°-\Phi_A)\cdot\frac{1}{2}=\frac{42°}{2}=21°$

Kommentar: Die Dispersion hängt bei der Lichtbrechung nur von der Wellenlänge ab, daher legt rotes Licht den Brechungsindex fest und nicht umgekehrt!

Reflexion von linear polarisiertem Licht

Auf eine Glasplatte mit einer Brechzahl n=1,5 fällt linear polarisiertes Licht unter dem Einfallswinkel $\varepsilon$ (Brechzahl der Luft: n=1). Die Schwingungsebene des elektrischen Vektors schließe mit der Einfallsebene den Winkel $\theta = 45°$ ein. Unter welchem Winkel $\theta_r$ zur Einfallsebene schwingt der elektrische Vektor nach der Reflexion, wenn $\varepsilon = 40°$ beträgt? Wieviel Prozent der einfallenden Intensität werden reflektiert? Berechnen Sie dazu nach den Fresnellschen Formeln die Verhältnisse der reflektierten zur einfallenden Amplitude für die Fälle des einfallenden Vektors parallel bzw. senkrecht zur Einfallsebene.

Aus dem Schnelliusschen Brechungsgesetz erhalten wir den Brechungswinkel $\beta$:

$\dfrac{\sin\epsilon}{\sin\beta}=\dfrac{n_1}{n_2}=1,5 \quad \Rightarrow \quad \beta=25,4°$

Verhältnis zwischen einfallenden und gebrochenen Strahl der parallelen Komponente:

$\left(\dfrac{E_r}{E_e}\right)_p=\dfrac{\sin(\epsilon-\beta)}{\sin(\epsilon+\beta)}=0,119$

Verhältnis zwischen einfallenden und gebrochenen Strahl der senkrechten Komponente:

$\left(\dfrac{E_r}{E_e}\right)_s=\dfrac{\tan(\epsilon-\beta)}{\tan(\epsilon+\beta)}=0,277$

Für $\varphi=45°$ erhalten wir:

$\vert E_{ep}\vert=\vert E_{es}\vert=\frac{\sqrt{2}}{2}\vert E_{ep}\vert$

$\Rightarrow\quad \vert E_{rs}\vert=0,277\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\vert E_{e}\vert\approx0,196\cdot\vert E_{e}\vert$

$\Rightarrow\quad \vert E_{rs}\vert=0,084\cdot\vert E_{e}\vert\$

$\Rightarrow\quad\tan\varphi_r\approx\left(\dfrac{0,196}{0,084}\right)=\frac{7}{3}$

$\Rightarrow\quad\varphi_r=66,8°$

$\dfrac{I_r}{I_e}=\dfrac{E_r^2}{E_e^2}=0,045$

$\Rightarrow\quad$ Es werden nur 4,5 $\%$ der einfallenden Lichtintensität an der Glasplatte reflektiert.

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